Đề thi thử đại học môn Toán 2025 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Lần 2)

PHẦN 1. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_2 = -1$, công bội $q = 2$. Giá trị $u_10$ là

Phương trình $\log_2 (x-1) = 2$ có nghiệm là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = BC = a, AA’ = a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa đường thẳng $A’C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 1; 2)$, $B(2; -1; 3)$. Phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ là

Cho hàm số $y = \frac{x+2024}{x-2025}$ có đồ thị $(C)$. Tâm đối xứng của $(C)$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0; -2; 1)$ và đường kính bằng $10$. Khi đó phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Một hãng xe ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 – 7x^2 + 11x – 2$ trên đoạn $[0; 3]$ là

Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+2x} > \frac{1}{27}$ là

Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$. Gọi $M$ là điểm nằm trên $CC’$ sao cho $MC = \frac{1}{3}MC’$. Đặt $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$, $\vec{AA’} = \vec{c}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây đúng?

Khi cắt một vật thể bởi bốn mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ ($0 \le x \le 3$), ta được mặt cắt là hình vuông có cạnh là $\sqrt{9-x^2}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Thể tích của vật thể đó bằng

PHẦN 2. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh ĐIỀN Đ hoặc S.

Câu 1. Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng $4$, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên dưới.

a) Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $16\left(\pi – \frac{1}{3}\right)$.
(13)

b) Parabol có phương trình là $y = -x^2 + 2x$.
(14)

c) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ bằng $\frac{512}{15}\pi$.
(15)

d) Cung tròn có phương trình là $y = \sqrt{16-x^2}$, $0 \le x \le 4$.
(16)

Câu 2. Cho hàm số $y=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

a) Đường tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$ cắt trục hoành, trục tung tại các điểm $A, B$ và diện tích tam giác $OAB$ bằng $2$ ($O$ là gốc tọa độ).
(17)

b) Hàm số có cực đại, cực tiểu.
(18)

c) Điểm $M(x;y)$ có $x\in\mathbb{Z}$ và $y\in\mathbb{Z}$, thì được gọi là tọa độ nguyên. Đồ thị $(C)$ có đúng $5$ điểm có tọa độ nguyên.
(19)

d) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị $(C)$ có tọa độ: $(-1;3)$.
(20)

Câu 3. Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm khảo sát.

a) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là $0.25$.
(21)

b) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là $0.68$.
(22)

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là $0.75$.
(23)

d) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là $0.2$.
(24)

Câu 4. Một bình chứa khí khổng lồ $K$ (đường kính $10$ m) chạm trực tiếp vào một bức tường thẳng đứng tại điểm $T(-6;0;5)$. Một tấm chắn $E$ được cố định xuống đất tại các điểm $A(0;16;25;0)$, $B(-12;16;25;0)$ và tại các điểm $C(0;5;15), D(-12;5;15)$ được đỡ bằng các thanh chống thẳng đứng (mỗi đơn vị trên trục tương ứng $1$ m). Phương trình tấm chắn $E$ là $4y+3z-65=0$.

a) Để tối ưu chi phí, bên thay tấm chắn $E$ bằng tấm $H$ có cùng chiều rộng với tấm chắn $E$ (cùng bằng $AB = 12$), nhưng chiều dài giảm đi để có thể tiếp xúc với quả bóng. Khi đó các thanh chống đều phải rút ngắn đi không ít hơn $2.5$ m.
(25)

b) Một điểm $M$ bất kì nằm bên bề mặt của bình chứa $K$. Khi khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến tấm chắn $E$ thì $x_M + y_M + z_M = 11$.
(26)

c) Để tối ưu chi phí, nên thay tấm chắn $E$ bằng tấm $H$ có cùng chiều rộng với tấm chắn $E$ (cũng bằng $AB = 12$), nhưng chiều dài giảm đi để có thể tiếp xúc với quả bóng. Khi đó các thanh chống đều phải rút ngắn đi không ít hơn $2.5$ m.
(27)

d) Một điểm $M$ bất kì nằm trên bề mặt của bình chứa $K$. Khi khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến tấm chắn $E$ thì $x_M + y_M + z_M = 11$.
(28)

PHẦN 3. CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN NGẮN

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1.

Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạc như sau:

• Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh giới của mảnh vườn.
• Hình của vườn uốn cong có dạng là đồ thị parabol $y = x^2$, biết tiếp xúc với đường đi tại đỉnh của nó.
• Ao cá dạng là một hình tròn bán kính bằng $0.5$ mét tiếp xúc với đường đi đồng thời có chung một điểm duy nhất với hàng rào. Khu vực vườn hoa nằm giữa hàng rào, lối đi và ao cá (phần gạch sọc trong hình minh họa).

Hỏi diện tích mảnh vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông? (Mỗi đơn vị trên trục tương ứng $1$ m) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
(29)

Câu 2. Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $P(x)=125-0.01x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=120+17x$ (triệu đồng) (gồm $120$ triệu đồng chi phí cố định và $17$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?
(30)

Câu 3. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có $A’A = A’B = A’C = 4$, đáy $ABC$ là tam giác cân tại $C$ có $CA = CB = 3$, $AB = 2\sqrt{5}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CC’$ (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).
(31)

Câu 4. Ông $A$ vay ngân hàng $100$ triệu đồng với lãi suất $1\%$/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ theo cách sau: Sau một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ mỗi tháng từ tháng $1$ đến tháng $11$ như nhau bằng $a$ triệu đồng, tháng $12$ số tiền hoàn nợ bằng $\dfrac{a}{2}$ triệu đồng và sau đúng một năm kể từ ngày vay ông $A$ còn nợ ngân hàng số tiền $59$ triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi $a$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
(32)

Câu 5. Một con chim thông minh đang đứng trên một cây cao tại điểm $B(7;10;6)$. Trong không gian $Oxyz$ mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ mét và mặt đất (xem như phẳng) là mặt phẳng $(Oxy)$. Con chim thông minh biết bay thẳng xuống một đất đai $N$ và chạy lấy thức ăn tại điểm $M$ cách $N$ $4$ m, sau đó bay thẳng đến điểm $A(1;2;3)$ trên một cây cao về chỗ con chim với tổng các khoảng cách $BN + NM + MA$ nhỏ nhất. Tính tổng các tung độ của $M$ và $N$.
(33)

Câu 6. Chọn ngẫu nhiên $4$ số $a, b, c, d$ thuộc tập hợp $S=\{1,2,\ldots,2025\}$. Tính xác suất để $4$ số chọn ra thoả mãn $a^2 + b^2 + d^2 + c^2$ chia hết cho $5$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
(34)