Câu 1Nhận biết
Cho hàm số \( z = f(x/y, y/x) \). Tìm biểu thức \( x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y\dfrac{\partial z}{\partial y} \).
Câu 2Nhận biết
Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^4+y^4-4xy \).
- A(0,0) là cực tiểu, (1,1) và (-1,-1) là điểm yên ngựa.
- B(0,0) là điểm yên ngựa, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
- C(0,0), (1,1), (-1,-1) đều là điểm cực tiểu.
- D(0,0) là cực đại, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
Câu 3Nhận biết
Tính tích phân kép \( I = \iint_D \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dxdy \), D là miền vành khăn \( 1 \le x^2+y^2 \le 4 \).
- A\( 2\pi \)
- B\( 3\pi \)
- C\( 2\pi \)
- D\( \pi \)
Câu 4Nhận biết
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và mặt nón \( z=2-\sqrt{x^2+y^2} \).
- A\( 2\pi \)
- B\( 5\pi/6 \)
- C\( \pi \)
- D\( 4\pi/3 \)
Câu 5Nhận biết
Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (y^2-2x)dx + 2xydy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(1,1) đến B(2,3).
- A15
- B15
- C18
- DPhụ thuộc đường đi
Câu 6Nhận biết
Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (e^x+y^2)dx + (2xy+e^y)dy \), với C là biên của hình chữ nhật \( [0,2]\times[0,1] \).
Câu 7Nhận biết
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Bernoulli \( y’ + \dfrac{y}{x} = x^2y^4 \).
- A\( y^{-3} = -3x^2+Cx^{-3} \)
- B\( y^{-3} = -\dfrac{3}{2}x^2+Cx^{-3} \)
- C\( y^{-3} = \dfrac{3}{2}x^2+Cx^{3} \)
- D\( y^{3} = -\dfrac{3}{2}x^2+Cx^{-3} \)
Câu 8Nhận biết
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + y = \cos x \).
- A\( y_p = A\cos x \)
- B\( y_p = A\cos x + B\sin x \)
- C\( y_p = x(A\cos x + B\sin x) \)
- D\( y_p = Ax\cos x \)
Câu 9Nhận biết
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = x-y \\ y’ = x+y \end{cases} \).
- A\( \vec{x}(t) = e^t \begin{pmatrix} C_1\cos t – C_2\sin t \\ C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
- B\( \vec{x}(t) = e^t \begin{pmatrix} C_1\cos t – C_2\sin t \\ C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
- C\( \vec{x}(t) = e^t \begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t \\ -C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
- D\( \vec{x}(t) = C_1e^{t}\cos t + C_2e^{t}\sin t \)
Câu 10Nhận biết
Cho trường vector \( \vec{F} \). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
- A\( \text{div}(\text{curl } \vec{F}) = 0 \)
- B\( \text{curl}(\text{div } \vec{F}) = \vec{0} \)
- C\( \text{curl}(\text{grad } f) \neq \vec{0} \)
- D\( \text{div}(\text{grad } f) = 0 \)
Câu 11Nhận biết
Tìm cực trị của hàm số \( z = x/a+y/b \) với điều kiện \( x^2+y^2=1 \).
- ACực đại \( \sqrt{a^2+b^2} \), cực tiểu \( -\sqrt{a^2+b^2} \)
- BCực đại \( \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab} \), cực tiểu \( -\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab} \)
- CCực đại \( ab \), cực tiểu \( -ab \)
- DKhông có cực trị.
Câu 12Nhận biết
Tính \( I = \iint_D \dfrac{dxdy}{(x^2+y^2+1)^2} \), D là toàn bộ mặt phẳng \( \mathbb{R}^2 \).
- A\( \pi \)
- B\( \pi/2 \)
- C\( 2\pi \)
- DVô hạn
Câu 13Nhận biết
Tính tích phân đường \( \int_C \dfrac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} \) với C là đường elip \( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \) ngược chiều kim đồng hồ.
- A0
- B\( 2\pi \)
- C\( \pi \)
- DPhụ thuộc a,b
Câu 14Nhận biết
Tính diện tích của phần mặt nón \( z^2=x^2+y^2 \) nằm bên trong mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=2z \).
- A\( \pi \)
- B\( \sqrt{2}\pi \)
- C\( 2\pi \)
- D\( \pi/2 \)
Câu 15Nhận biết
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y^{(4)} – y = 0 \).
- A\( y=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3e^{ix}+C_4e^{-ix} \)
- B\( y=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3\cos x+C_4\sin x \)
- C\( y=(C_1+C_2x)e^x+(C_3+C_4x)e^{-x} \)
- D\( y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^{-x}(C_3\cos x+C_4\sin x) \)
Câu 16Nhận biết
Tìm vi phân cấp 2 của hàm số \( z = e^{x+y} \).
- A\( d^2z = e^{x+y}(dx^2+dy^2) \)
- B\( d^2z = e^{x+y}(dx+dy)^2 \)
- C\( d^2z = e^{x+y}(dx^2+2dxdy) \)
- D\( d^2z = e^{x+y}dxdy \)
Câu 17Nhận biết
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=4a^2 \) và mặt trụ \( x^2+y^2=a^2 \).
- A\( \dfrac{4\pi a^3}{3}(8-3\sqrt{3}) \)
- B\( \dfrac{4\pi a^3}{3}(8-3\sqrt{3}) \)
- C\( 2\pi a^3(8-3\sqrt{3}) \)
- D\( \dfrac{2\pi a^3}{3}(8-3\sqrt{3}) \)
Câu 18Nhận biết
Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(x^3,y^3,z^3) \) và S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=a^2 \).
- A\( \dfrac{12\pi a^4}{5} \)
- B\( \dfrac{12\pi a^5}{5} \)
- C\( \dfrac{4\pi a^5}{5} \)
- D\( 4\pi a^5 \)
Câu 19Nhận biết
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ + y = \dfrac{1}{1+e^{2x}} \).
- A\( y=Ce^{-x}+e^{-x}\arctan(e^x) \)
- B\( y=Ce^{-x}+e^{-x}\arctan(e^x) \)
- C\( y=Ce^{x}+e^{x}\arctan(e^x) \)
- D\( y=Ce^{-x}+\ln(1+e^{2x}) \)
Câu 20Nhận biết
Trường \( \vec{F} = (y^2, z^2, x^2) \) có phải trường thế không?
- ACó
- BKhông
- CChỉ là trường thế khi x=y=z
- DKhông xác định.
Câu 21Nhận biết
Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( z = x+\arctan\left(\dfrac{y}{z-x}\right) \).
- A\( \dfrac{z-x}{z-x-y} \)
- B\( \dfrac{z-x}{z-x-y} \)
- C\( \dfrac{z-x+y}{z-x-y} \)
- D\( \dfrac{z-x-y}{z-x+y} \)
Câu 22Nhận biết
Tính tích phân kép \( \iint_D [2-x^2-y^2] dxdy \), D là miền \( x^2+y^2 \le 2 \). (Dấu [x] là phần nguyên của x)
- A\( 2\pi(\sqrt{2}-1) \)
- B\( 2\pi(\sqrt{2}-1) \)
- C\( \pi(\sqrt{2}-1) \)
- D\( \pi(3-2\sqrt{2}) \)
Câu 23Nhận biết
Tính \( \int_C (2x-y)dx+(x+3y)dy \) với C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1,1).
- A3
- B2
- C1
- DPhụ thuộc đường đi
Câu 24Nhận biết
Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình nón \( z=\sqrt{x^2+y^2}, 0 \le z \le 1 \).
- A\( \pi \)
- B\( 2\pi/3 \)
- C\( 4\pi/3 \)
- D\( \pi/3 \)
Câu 25Nhận biết
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^3y”’ + 3x^2y” – 2xy’ + 2y = 0 \).
- A\( y = C_1x+C_2x^{-1}+C_3x^2 \)
- B\( y = C_1x+C_2x^{-1}+C_3x^2 \)
- C\( y = C_1x+C_2x^{-2}+C_3x \)
- D\( y = C_1x+C_2x^2+C_3x^{-1} \)
Câu 26Nhận biết
Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \dfrac{\sin t}{t} \).
- A\( \arctan(s) \)
- B\( \arctan(1/s) \)
- C\( \dfrac{1}{s^2+1} \)
- D\( \dfrac{s}{s^2+1} \)
Câu 27Nhận biết
Cho \( f(x) = \begin{cases} \sin x & x \in [0, \pi] \\ 0 & x \in [-\pi, 0) \end{cases} \). Hệ số \( b_1 \) trong khai triển Fourier của f(x) là:
Câu 28Nhận biết
Tính \( \oint_C (x^3-3y)dx + (x+y^3)dy \) với C là biên tam giác có đỉnh (0,0), (1,0), (0,1).
Câu 29Nhận biết
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”-4y’ + 4y = \dfrac{e^{2x}}{x} \).
- A\( y_p=A\dfrac{e^{2x}}{x} \)
- B\( y_p=(A+B\ln x)e^{2x} \)
- C\( y_p = v_1(x)e^{2x} + v_2(x)xe^{2x} \) (dùng biến thiên hằng số)
- D\( y_p=A x e^{2x} \ln x \)
Câu 30Nhận biết
Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s\sqrt{s+1}} \).
- A\( \text{erf}(\sqrt{t}) \)
- B\( \text{erf}(\sqrt{t}) \)
- C\( e^{-t}\text{erf}(\sqrt{t}) \)
- D\( \dfrac{1}{\sqrt{\pi t}} – \dfrac{e^t}{\sqrt{\pi}}\text{erf}(\sqrt{t}) \)